球体填充问题

http://www.2003.com.cn 2003-10-24 东方网上家园

    如果把一大堆的乒乓球倒进一个箱内，倒至最后还剩下几个，但看来箱子也满了，你会怎样做呢？用力把乒乓球压下去吗？当然不会，聪明的你会尝试把箱子抖几下，使球与球之间的空隙减少，好让你可以把剩余的几个放进箱子内。这个经验可能很多人也有过，但你又可想到这个乒乓球装箱的问题，其实是一个数学上的难题呢？

    从以上的经验中，随即想到一个十分自然的问题，就是「如何把乒乓球装箱，才可以装到最多乒乓球呢？」这便是有名的「球体填充问题」（Sphere-Packing Problem），亦称「开普勒猜想」（Kelper Conjecture）。表面上看，这个似乎算不上甚么难题，但想清楚便真的不容易了。把以上的问题化为数学问题，即设箱子的容量为L，球的半径为r，球的数量为N，那么有：

    其中左边的式子，可以看成为密度。当然以上的式子是十分粗糙，球体填充问题便是要找上这个密度的上确界，而如果可能的话，希望能找出装箱的方法。

    1611年，著名的天体物理学家开普勒（Johannes Kelper，公元1571年─1630年）写了一本小册子《新年的礼物──论六出的雪花》，当中提到一种球体装箱的方法，并猜想这是一种「最密」的装箱方法。他的方法是这样的：考虑一个边长为2的正立方体，分别以它的八个顶点及六个面的中心为球心，以[sqrt(2)/2]为半径作球，因此在这正立方体内，球的体积便有4个整球的体积（八个角，每个角有八分一个球；六个面，每个面有半个球），所以密度如下：

    也就是说，开普勒认为球体装箱的密度上确界为π/sqrt(18)，并以π/sqrt(18)为最密。